Equation du second degré
RESOLUTION D’UN PROBLEME
DU SECOND DEGRE
A . Andemo A piaghja !
Gérard, surveillant à la plage doit délimiter une zone de baignade à l'aide d'un filin de 140 m de long.
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A1. Situations particulières.
A11. B et B' sont situés à 10 m du rivage.
A11a. Calculer la distance BB'.
A11b. Calculer l'aire de baignade A(10).
A12. B et B' sont situés à 50 m du rivage.
A12a. Calculer la distance BB'.
A12b. Calculer l'aire de baignade.
A2. Situation générale : B et B' sont situés à x mètres du rivage.
A21. Dans quel intervalle se situe x ?
A22. Exprimer l'aire de baignade en fonction de x.
A23. L'aire de baignade A(x) doit être supérieure à 1800 m2.
A23a. Compléter le tableau de valeurs suivant :
| $x$ | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| $A(x)$ |
A23b. Quelles valeurs semblent convenir ?
A23c. Quelle inéquation faut-il résoudre pour satisfaire à la condition ?
A23d. Tracer la courbe donnant l'aire A(x) dans le repère ci-dessous.
A23e. Répondre précisément à la problématique.
A3. Reprendre le travail précédent à l'aide de Geogebra et répondre.
A4. Reprendre le travail précédent à l'aide de la calculatrice et répondre.
B. Résistance équivalente.
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Une fois de retour de la plage, Gérard doit réparer le montage électrique ci-contre. La résistance équivalente du montage doit être de $100 \Omega$. |
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Après de judicieux calculs, la résistance globale est exprimée par la relation :
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$R_{éq}= \dfrac {2R^{ \ 2} \ + \ 130 R \ + \ 600}{ R \ + \ 50 }$ |
B1. Ecrire l'équation que doit vérifier R sous la forme $a \ R^{ \ 2 } \ + \ b \ R \ + \ c \ = \ 0$.
L'équation obtenue est une équation ...........................
B2. Résolution.
B21 Vérifier que l'équation revient à résoudre : $2 \left ( R+55 \right ) \left (R-40 \right ) = 0$
B22. Résoudre.
$ 2 \left (R+55 \right ) \left ( R-40 \right ) =0 $
| $\Leftrightarrow$ | \begin{cases} \ \ \ \ ............... = 0 \\ ou \\ \ \ ............... = 0 \end{cases} |
$\Leftrightarrow$ | \begin{cases} \ \ .......= ....... \\ ou \\ \ \ .......= ....... \end{cases} |
B3. Conclusion :
• La valeur à donner à la résistance R est : R = ……………………………
• Résoudre une équation ……………………………………. revient à résoudre ……………………….. équations ………………………………
C. Variations des fonctions du second degré.
Une fonction du second degré est une fonction du type : $f : x \mapsto .............................$
C1. Variations.
C11. $f(x) \ = \ 2x^2 -2x + 4$
• Donner les valeurs des coefficients $a \ , \ b \ et \ c$.
• Tracer la courbe $C_1$ représentative de la fonction ci-dessus.
• Quelle est le nom de ce type de courbes ?
• Quelles sont les coordonnées de son sommet ?
• Compléter le tableau de variations :
| $x$ | $ -4 $ $ 4$ |
| $f$ |
• Calculer la valeur $x_0=- \dfrac {b}{2a}$.
• Comparer cette valeur avec celle de l'abscisse de son sommet.
C12. $g(x) \ = \ -x^2 +2x +8$
• Donner les valeurs des coefficients $a \ , \ b \ et \ c$.
• Tracer la courbe $C_2$ représentative de la fonction ci-dessus.
• Quelle est le nom de ce type de courbes ?
• Quelles sont les coordonnées de son sommet ?
• Compléter le tableau de variations :
| $x$ | $ -4 $ $ 4$ |
| $g$ |
• Calculer la valeur $x_0=- \dfrac {b}{2a}$
• Comparer cette valeur avec celle de l'abscisse de son sommet.
C13. Variations.
• Quelle est la différence entre ces deux courbes ?
• Comment repérer cette différence ?
C2. Conclusion.
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Si a est ……………….. la fonction $f: x \mapsto ax^²+bx+c$ est :
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Si a est ……………….. la fonction $f: x \mapsto ax^²+bx+c$ est :
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D. Résolution de l'équation $ax² + bx + c = 0$.
D1. Définition.
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On appelle DISCRIMINANT d'un polynôme du second degré $ax² + bx + c$, le nombre : $\Delta \ = \ b^2 \ - \ 4ac$ |
D2. $h(x) = 2x^2+2x+1$.
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• L'équation $h(x) \ = 0$ admet-elle des solutions ?
• Identifier les valeurs de a, b etc.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• Quel est le signe de $\Delta$?
D3. $j(x) = x^2-6x+9$.
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• L'équation $j(x) \ = \ 0$ admet-elle des solutions ?
• Identifier les valeurs de a, b etc.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• Quel est le signe de $\Delta$?
• A quelle valeur correspond la solution ?
D4. $k(x) = x^2-x-2$.
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• L'équation $k(x) \ = \ 0$ admet-elle des solutions ?
• Identifier les valeurs de a, b etc.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• Quel est le signe de $\Delta$?
• Calculer les valeurs suivante :
$x_1=\dfrac {-b- \sqrt \Delta}{2a}$
$x_2=\dfrac {-b+ \sqrt \Delta}{2a}$
• A quelles valeurs correspondent-elles?
D5. Conclusion.
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Si $\Delta$ est ............................................
l'équation $ax^2+bx+c =0 $
............................................
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<
Si $\Delta$ est ............................................ l'équation $ax^2+bx+c=0$
............................................
|
Si $\Delta$ est ............................................
l'équation $ax^2+bx+c=0$ ............................................
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E. Etude du signe d'un polynôme du second degré.
E1. $m(x) = 2x^2+3x+2$
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• Compléter le tableau de signe de la fonction.
| $x$ | $- \infty$ $+ \infty$ |
| $m$ |
• Quel est le signe $a$ ?
E2. $n(x) = x^2-4x+4$
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• Compléter le tableau de signe de la fonction.
| $x$ | $- \infty$ $+ \infty$ |
| $n$ |
• Quel est le signe $a$ ?
E3. $p(x) = 2x^2-4x-4$
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• Compléter le tableau de signe de la fonction.
| $x$ | $- \infty$ $+ \infty$ |
| $p$ |
• Quel est le signe $a$ ?
E4. $q(x) = -x^2-x+2$
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• Compléter le tableau de signe de la fonction.
| $x$ | $- \infty$ $+ \infty$ |
| $q$ |
• Quel est le signe $a$ ?
E5. Conclusion :
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Si $\Delta$ est ............................................
la fonction $x \mapsto ax^2+bx+c \ $ est :
............................................ |
<
Si $\Delta$ est ............................................
la fonction $x \mapsto ax^2+bx+c \ $ est :
............................................
|
Si $\Delta$ est ............................................
la fonction $x \mapsto ax^2+bx+c \ $
............................................
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F. Factorisation.
F1. $f(x) = 2x^2+4x+2$
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• En déduire la valeur de la solution de l'équation $f(x)=0$.
• Développer l'expression : $2 \left ( x+1 \right )^2$.
F2. $g(x) = 2x^2-4x-2$
• Tracer la courbe représentative de la fonction.
• Identifier les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
• Calculer la valeur du discriminant $\Delta$.
• En déduire la valeur de la solution de l'équation $f(x)=0$.
• Développer l'expression : $2 \left(x-3 \right) \ \left( x+1 \right)$
F3.Conclusion.
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Si $f : x \mapsto ax^2+bx+c$ admet une seule solution $x_0$, son expression factorisée est : ............................................ |
Si $f : x \mapsto ax^2+bx+c$ admet deux solutions $x_1 \ et \ x_2$, son expression factorisée est : ............................................ |
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