Suites numériques

A1. une pyramide de verre.

On construit une pyramide de verre de 12 étages, fabriquée à partir de panneaux tous identiques, ayant la forme de triangles isocèles. On note $u_1$ le nombre de panneaux sur une face à l’étage le plus haut. On note $u_2$ le nombre de panneaux sur une face à l’étage suivant. On note $u_3$ le nombre de panneaux sur une face à l’étage suivant… etc. Ainsi, on note $u_n$, le nombre de panneaux sur une face au nième étage.

A11. Premiers termes.

Donner le nombre de panneaux à chaque étage, du premier au quatrième.

$u_1 \ = \ .............................$

$u_2 \ = \ .............................$

$u_3 \ = \ .............................$

$u_4 \ = \ .............................$

A11. Premiers termes.

A12. D'un terme au terme suivant.

Quelle relation permet de passer de $u_1$ à $u_2$ ? de $u_2$ à $u_3$ ? de $u_3$ à $u_4$ ?

$u_2 \ = \ .............................$

$u_3 \ = \ .............................$

$u_4 \ = \ .............................$

En déduire la relation permettant de passer de $u_n$ à $u_{n+1}$

A13. Du premier terme à n'importe quel terme.

$\bullet$ Ecrire la relation permet de passer de $u_1$ à $u_2$ : $u_1 \ = \ ................$

$\bullet$ Ecrire la relation permet de passer de $u_1$ à $u_2$ : $u_3 \ = \ ................$

En déduire la relation permet de passer de $u_1$ à $u_3$ : $u_3 \ = \ ................$

$u_3 \ = \ ................$

$\bullet$ Ecrire la relation permet de passer de $u_3$ à $u_4$ : $u_4 \ = \ ................$

En déduire la relation permet de passer de $u_1$ à $u_4$ : $u_4 \ = \ ................$

$u_4 \ = \ ................$

$\bullet$ Ecrire la relation permet de passer de $u_1$ à $u_4$ : $u_5 \ = \ ................$

En déduire la relation permet de passer de $u_1$ à $u_1$ : $u_5 \ = \ ................$

$u_5 \ = \ ................$

En déduire la relation permettant de passer de $u_1$ à $u_{n}$

A14. Au final.

$\bullet$ Déterminer le nombre de panneaux sur une face au 12ème étage : $u_{12} \ = \ ............$

$\bullet$ En déduire le nombre de panneaux sur une face.

..............................................................

..............................................................

A15. A l'aide d'un tableur.

En utilisant le support votre choix, établir un tableau permettant de vérifier les résultats précédents.

A2. Chute d'une bille.

Lors de la chute libre d’une bille, on a relevé la distance parcourue en fonction du temps. $t \ (s)$ $d \ (m)$ $0$ $0$ $1$ $5$ $2$ $20$ $3$ $45$ $4$ $80$ $5$ $125$ $6$ $180$   On note $u_n$ la distance parcourue ente deux instants. NB : ainsi, $u_4$ représente la distance parcourue entre les instants $t=3s$ et $t=4s$. Définition : Une suite arithmétique $(u_n)$ est une suite de nombres tels que chaque terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant le même nombre $rr appelé raison de la suite : $u_{n+1} \ = u_n \ + \ r$

A21. Identification de la suite.

$\bullet$ Calculer les distances parcourues pendant les premières, deuxième, troisième et quatrième secondes :

$u_2 \ = \ .............................$

$u_3 \ = \ .............................$

$u_4 \ = \ .............................$

$u_5 \ = \ .............................$

$\bullet$ Montrer que les nombres $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ forment une suite arithmétique. En préciser la raison.

$................................................................................................$

$................................................................................................$

$................................................................................................$

$................................................................................................$

$\bullet$ Tenter alors de déterminer le terme $u_{30}$ de cette suite.

$................................................................................................$

$................................................................................................$

A22. Représentation graphique.

$\bullet$ Placer dans le repère ci-dessous les points d'abscisse $n$, numéro de la seconde et d'ordonnée la valeur un de la suite.

$\bullet$ Comment semble placés les points représentés ?

$................................................................................................$

$................................................................................................$

$\bullet$ Donner alors, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

$................................................................................................$

$................................................................................................$

$\bullet$ Calculer le terme $u_{30}$ à partir de cette expression.

$................................................................................................$

$................................................................................................$

$\bullet$ En utilisant l'activité précédente, déterminer la distance totale parcourue par la bille durant les 30 secondes de chute.

$................................................................................................$

$................................................................................................$

COURS

Définition.

Une suite arithmétique est une suite de nombre tels que chacun d'eux est obtenu en .....................au terme précédent, un même nombre appelé .....................

Le premier terme de la suite est noté .............. ; la raison est notée ..............

Le terme de rang $n$ est noté ......... Le suivant, de rang ........ est noté : ........

On a donc :

Expression du $n^{ \ième}$ terme en fonction du premier terme et de la raison :

Pour calculer les différents termes d’une suite arithmétique, on peut les calculer un à un, en ajoutant à chaque fois la raison.

Mais cette méthode risque de devenir fastidieuse lorsqu’on nous demandera de calculer le 100ème terme.

Comme nous l’avons vu lors de l’exemple, la relation entre $u_n$, $n$ et $r$ est :

Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique.

Sens de variation.

$\bullet$ Une suite numérique est croissante si : $u_{n+1} > u_n$.

$\bullet$ Une suite numérique est décroissante si : $u_{n+1} <u_n$.

$\bullet$ Une suite numérique est constante si : $u_{n+1} = u_n$.

Pour étudier le sens de variation d'une suite arithmétique, il suffit d'étudier le signe de la différence $u_{n+1} \ - \ u_n$ :

$\bullet$ Si $u_{n+1} - u_n  \ > \ 0$ : la suite est croissante.

$\bullet$ Si $u_{n+1} - u_n \ < \ 0$ : la suite est décroissante.

$\bullet$ si $u_{n+1} - u_n = 0$ : la suite est constante.