Vecteurs du plan

VECTEURS DU PLAN

A1. Randonnée.

Gérard Marchant décide d’effectuer la partie Nord du GR20.

Il prendra l’avion à Paris et se posera à Ajaccio.

De là, il rejoindra Vizzavona par la route.

Il marchera sur le GR20 jusqu’à Calenzana.

Une fois à Calenzanna, il retournera prendre l’avion à Ajaccio.

1. Placer sur la carte ci-contre, les points dont on donne les coordonnées :

$A \left ( 2 ; 2,5 \right ) \ \ B \left (3,2 ; 7,8 \right )$ et $C \left ( 5,1 ; 4,1 \right )$

2. Associer à chaque point, le lieu correspondant.

Lieu		Point
Ajaccio $\bullet$		$\bullet \ \ A$
Calenzana $\bullet$		$\bullet \ \ B$
Vizavona $\bullet$		$\bullet \ \ C$

3. Mesurer sur la carte, les distances suivantes :

$AB \ = \ ........$

$AC \ = \ ........$

$BC \ = \ ........$

4. En déduire la nature du triangle $ABC$.

....................................................................................................................................................................

5. Représenter sur la carte les déplacements du randonneur d’Ajaccio à Vizzavona, puis de Vizzavona à Calenzana et enfin de Calenzana à Ajaccio.

6. Comment se nomment ces représentations ?

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7. Donner leurs notations.

8. Déduire une relation entre ces trois grandeurs.

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A2. En moto.

Pour économiser de l’essence, Angelo descend en roue libre, en ligne droite.

On a pris deux clichés à des instants différents.

Joe bar 1

1a. Tracer au crayon les diagonales du quadrilatère $\left ( AA’B’B \right )$.

1b. Quelle conclusion en tirer quant à la nature de ce quadrilatère ?

....................................................................................................................................................................

1c. Quelle conclusion en tirer quant aux droites $\left ( AA’ \right )$ et $\left ((BB’ \right )$ ?

....................................................................................................................................................................

1d. Quelle conclusion en tirer quant aux distances $AA’$ et $BB’$ ?

....................................................................................................................................................................

2a. Tracer au crayon les diagonales du quadrilatère $\left ( AA’C’C \right )$.

2b. Quelle conclusion en tirer quant à la nature de ce quadrilatère ?

....................................................................................................................................................................

2c. Quelle conclusion en tirer quant aux droites $\left ( AA’ \right )$ et $\left ( CC’ \right )$ ?

....................................................................................................................................................................

2d. Quelle conclusion en tirer quant aux distances $AA’$ et $CC’$ ?

....................................................................................................................................................................

3a. Tracer au crayon les diagonales du quadrilatère $\left ( CC’B’B \right )$.

3b. Quelle conclusion en tirer quant à la nature de ce quadrilatère ?

....................................................................................................................................................................

3c. Quelle conclusion en tirer quant aux droites $\left ( CC’ \right )$ et $\left (BB’ \right )$ ?

....................................................................................................................................................................

3d. Quelle conclusion en tirer quant aux disatnces $CC’$ et $BB’$ ?

....................................................................................................................................................................

A3. En utilisant Geogebra.

A31. Composantes d’un vecteur.

$\bullet$ Tracer dans un repère, le vecteur défini par les points $A \left ( 1 \ ; \ 1 \right )$ et $B \left ( 4 \ ; \ 5 \right )$

$\bullet$ Afficher la "valeur" de ce vecteur, et recopier la notation obtenue.

......................................

$\bullet$ Que représentent les deux nombres obtenus ?

......................................

$\bullet$ Retrouver ces deux grandeurs par le calcul.

......................................

A32. Norme d’un vecteur.

$\bullet$ Ajouter le point $C \left ( 4 \ ; \ 1 \right )$

$\bullet$ Tracer le segment $\left [ AC \right ]$, et afficher sa "valeur".

......................................

$\bullet$ Que représente cette valeur ?

......................................

$\bullet$ Tracer le segment $\left [ CB \right ]$, et afficher sa "valeur".

......................................

$\bullet$ Tracer le segment $\left [ AB \right ]$, et afficher sa "valeur".

......................................

$\bullet$ Trouver une relation entre ces trois "valeurs" .

......................................

A33. Coordonnées du milieu d’un segment.

$\bullet$ Ajouter le milieu du segment $\left [ AB \right ]$

$\bullet$ Afficher sa "valeur".

......................................

$\bullet$ Que représentent les nombres obtenus ?

......................................

$\bullet$ Retrouver ces valeurs par le calcul.

......................................

A34. Somme de vecteurs.

$\bullet$ Placer dans un repère, le vecteur défini par les points $A \left ( 1 \ ; \ 1 \right )$ et $B \left ( 4 \ ; \ 5 \right )$ et afficher sa"valeur".

......................................

$\bullet$ Placer dans un repère, le vecteur défini par les points $B \left ( 4 \ ; \ 5 \right )$ et $C \left ( 8 \ ; \ 7 \right )$ et afficher sa"valeur".

......................................

$\bullet$ Ajouter le vecteur défini par les points $A$ et $C$, et afficher sa "valeur".

......................................

$\bullet$ Que représente ce vecteur ?

......................................

$\bullet$ Retrouver sa "valeur" par le calcul.

......................................

COURS.

C1. Eléments caractéristiques d’un vecteur.

Un vecteur est caractérisé par :

$\bullet$ Sa direction.

$\bullet$ Son sens.

$\bullet$ Sa norme.

Dans l'exemple ci-dessus :

$\bullet$ L’origine du vecteur est : .......................

$\bullet$ L’extrémité du vecteur est : .......................

$\bullet$ La direction du vecteur est : .......................

$\bullet$ Le sens du vecteur est : .......................

$\bullet$ La norme du vecteur est : .......................

C2. Vecteurs égaux, opposés, vecteur nul.

C21. Vecteurs égaux.

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes caractéristiques :

$\bullet$ Même ........................

C22. Vecteurs opposés.

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes caractéristiques :

$\bullet$ Même ........................

$\bullet$ Et sont de ........................

NOTATION :

L'opposé du vecteur $\overrightarrow {AB}$ est noté : .........

REMARQUE :

$ - \ \overrightarrow {AB} \ = \ $............

C23. Vecteur nul.

Un vecteur est nul si sa norme est égale à $0$.

Notation :

Le vecteur nul est noté : ..............

Remarque :

$\overrightarrow{AA} \ = \ $...........

C3. Somme de deux vecteurs.

La somme de deux vecteurs peut être construite de deux façons :

C31. Méthode de Chasles.

On place les vecteurs "bout-à-bout" :

Ci-dessus, $\overrightarrow w$ est la somme de $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$

On note : $\overrightarrow w \ = \ $.....................

C32. Méthode du parallélogramme.

On rapporte les deux vecteurs à la même origine.

On trace la diagonale du parallélogramme ayant des côtés représentants de chaque vecteur.

C33. Application.

Tracer les vecteurs suivants :

$\bullet \ \overrightarrow u \ = \ \overrightarrow a + \overrightarrow e$

$\bullet \ \overrightarrow v \ = \ \overrightarrow b + \overrightarrow d$

$\bullet \ \overrightarrow w \ = \ \overrightarrow c + \overrightarrow f$

$\bullet \ \overrightarrow t \ = \ \overrightarrow f + \overrightarrow e$

$\bullet \ \overrightarrow s \ = \ \overrightarrow c + \overrightarrow d$

C4. Coordonnées d’un vecteur dans le plan.

C41. Introduction.

On se placera dans un repère orthonormé direct :

$\bullet$ L'axe des abscisses a pour origine le point $O$.

$\bullet$ Il est orienté selon un vecteur $\overrightarrow u$ de norme $1$.

$\bullet$ L'axe des ordonnées a pour origine le même point $O$.

$\bullet$ Il est orienté selon un vecteur $\overrightarrow v$ de norme $1$.

$\bullet$L'angle entre les vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ est égal à $+ \dfrac{\pi}{2}$ :

$\left (\overrightarrow u \ ; \ \overrightarrow v \right ) = \ + \ \dfrac{\pi}{2}$

C42. Coordonnées d’un vecteur.

On considère deux points $A$ et $B$ du plan définis par leurs coordonnées $A \left ((x_A \ ; \ y_A \right )$ et $B \left ((x_B \ ; \ y_B \right )$.

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AB}$ sont :

$\overrightarrow {AB} \ = \ \left ( x_B-x_A \ ; y_B-y_A \right )$

On note aussi : $\overrightarrow {AB} \ = \ \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$

Exemple :

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AB}$ du vecteur ci-contre.

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C43. Coordonnées d’un vecteur somme.

On considère deux points vecteur $\overrightarrow U$ et $\overrightarrow V$ de coordonnées :

$\overrightarrow U \left ((x_1 \ ; \ y_1 \right )$ et $\overrightarrow V \left ((x_2 \ ; \ y_2 \right )$.

Les coordonnées du vecteur somme $\overrightarrow W \ = \ \overrightarrow U \ + \ \overrightarrow V$ sont :

$\overrightarrow W \ = \ \left ( x_1+x_2 \ ; y_1+y_2 \right )$

Exemple :

Dans un repère, on considère les vecteurs : $\overrightarrow U \ = \ \left ( 2 \ ; \ 4 \right ) \ ; \ \overrightarrow V \ = \ \left ( -1 \ ; \ 3 \right ) \ ; \overrightarrow W \ = \ \left ( -2 \ ; \ -4 \right )$

Déterminer les coordonnées des vecteurs :

$\overrightarrow A \ = \overrightarrow U \ + \ \overrightarrow V \ ; \ \overrightarrow B \ = \overrightarrow U \ + \ \overrightarrow W \ ; \ \overrightarrow C \ = \overrightarrow V \ + \ \overrightarrow V \ ; \ \overrightarrow D \ = \overrightarrow U \ - \ \overrightarrow V \ ; \ \overrightarrow E \ = \overrightarrow V \ - \ \overrightarrow W $

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C43. Coordonnées d’un vecteur somme.

Faire le produit d’un vecteur $\overrightarrow U \left ( x \ ; \ y \right )$ par un nombre réel $k$ revient à multiplier chacune de ses coordonnées par le nombre $k$.

$\overrightarrow V \ = \ k \times \overrightarrow V = \left ( k \times x \ ; k \times y \right )$

On dit que les vecteurs sont COLINEAIRES.

ils ont MEME DIRECTION.