Fonctions numériques

ACTIVITES

A1. Grand Petit Homme.

Grand Petit Homme lance une flèche, horizontalement, de la hauteur $h = 10 \ m$, à la vitesse de $4 \ m.s^{ \ -1}$.

La courbe suivante représente la trajectoire du centre de gravité de la flèche.

$x$ représente la distance au sol du centre de gravité de la flèche, et $y$, son altitude.

1) Déterminer graphiquement : a. L'altitude de la flèche pour une distance au sol de 3 m : ...................   b. La distance au sol de la flèche pour une altitude de 6 m : ...................

Une étude physique de la trajectoire a permis d'établir l'expression de l’altitude $y$ en fonction de $x$ :

$y \ = \ - \dfrac{10}{32} \times x^{ \ 2} + 10$

2) Nous allons montrer que cette expression satisfait bien à la trajectoire proposée.

a. compléter le tableau de valeurs suivant :

b.Placer les points correspondants dans le repère ci-dessus.

c.Tracer la courbe correspondante à l'équation donnée à l'aide de la calculatrice et dans Geogebra.

A2. Balade en VTT.

Paul a équipé son VTT d’un altimètre et part pour une balade. Le parcours est enregistré dans la mémoire de l’appareil. Une fois de retour, il récupère les variations de l’altitude au cours de son trajet. La courbe obtenue est représentée ci-contre.

1. Compléter les graduations sur les axes.

2. Quelle est la grandeur en abscisse ?........................................................................................

3. Quelle est la grandeur en ordonnée ? ........................................................................................

4. Que représente le graphique ?

.......................................................................................................................................................................

5. A quelle altitude a-t-il commencé son parcours ? ........................................................................................

6. A quelle altitude termine-t-il ? ........................................................................................

7. Le parcours peut-il être un circuit ?

.......................................................................................................................................................

8. Quelle est l’altitude du point culminant ? ........................................................................................

9. A quelle distance atteint-il le point le plus bas ? ........................................................................................

10. Quelle distance a-t-il parcourue ? ........................................................................................

11. Etude du trajet.

a. Comment varie l’altitude de 0 à 30 km ? ........................................................................................

b. Comment varie l’altitude de 30 à 40 km ? ........................................................................................

c. Comment varie l’altitude de 40 à 50 km ? ........................................................................................

d. Comment varie l’altitude de 50 à 55 km ? ........................................................................................

e. Traduire ces données dans le tableau suivant :

Distance (km)	0 30 40 50 55
Altitude (m)

A3. Réalisation d’une piscine.

Crazy squale souhaite réaliser une piscine métallique, à partir d’une tôle carrée de 16 cm de côté et d’une autre cuve cubique (d’arête 4 cm) qui viendra se souder sous la première cuve. Pour cela, il enlève à chaque coin de la plaque, un carré de côté x cm. Il souhaite que le volume de sa piscine soit maximal.

A31. Dimensions.

a) Quelle est la longueur $L(x)$ totale du parallélépipède ?

b) Quelle est sa largeur $l(x)$ ?

c) Quelle est sa hauteur $h(x)$ ?

d) Quelle valeur maximale $x_{max}$ peut prendre $x$ ?

A32. Volume.

Déduire des réponses précédentes, le volume total $V(x)$ de la piscine ainsi réalisée .

A33. Courbe représentative de V(x) en fonction de x.

a. Compléter le tableau de valeurs :

b. Tracer la courbe représentative de la fonction $x \mapsto V(x)$.

Echelle : abscisse : $1 cm \leftrightarrow 1 \ cm $ ordonnée : $1 cm \leftrightarrow 50 \ cm^3 $ c) Donner une valeur approchée de $x$ pour laquelle $V(x)$ est maximal. d) Donner une valeur approchée de x pour laquelle $V(x)$ est minimal. e) A l’aide du graphique ci-contre, compléter le tableau de variations de la fonction $x \mapsto V(x)$ : x V

A34. Conclusion.

A4. Electrocardiogramme.

Ci-contre, un relevé des battements du cœur d’un patient. 1) Quelle est la particularité de la courbe obtenue ? 2) Grandeurs caractéristiques : a. $U_{max}$ b. $U_{min}$ c. $T =$ d. $f =$ 3) En déduire le nombre de pulsations par minutes.

COURS.

C1. Notion de fonction.

C11. Définition et notation.

$\bullet$ Tout procédé qui transforme un nombre $x$ en un nombre $y$ est appelé FONCTION.

$\bullet$ Une fonction numérique est une relation qui à un nombre $x$ fait correspondre au plus un nombre $y$.

Si la fonction est notée $f$, on écrit : $f : x \mapsto \ y $

$x$ est l’ ………………………

$y$ est l' ………………………. on note $y=f(x)$.

$\bullet$ L'intervalle dans lequel se trouve x est appelé intervalle de définition (ou ensemble de définition).

C12. Représentation graphique.

La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $M \left ( x \ ; \ f(x) \right )$

Pour construire la représentation graphique d'une fonction :

$\bullet$ On cherche l'ensemble de définition de cette fonction.

$\bullet$ On cherche les couples de valeurs où en remplissant un tableau de valeurs :

$\bullet$ On place les points de coordonnées dans un repère.

$\bullet$ On relie les points par une courbe continue.

Cette courbe est appelée courbe représentative de la fonction ou représentation graphique.

Remarque: On place la variable en ………………………. et l'image en ……………………………

Exemple :

$\bullet$ On considère la fonction : $f(x) \ = \ 2x^2-4x+3$ $\bullet$ Tracer la courbe représentative de cette fonction après avoir rempli le tableau de valeurs. $x$ -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 $y$ $\bullet$ Vérifier avec la calculatrice graphique.

C2. Sens de variation.

C21. Retour à l'exemple précédent.

Nous avons tracé la courbe représentative de la fonction $f(x) = 2x^2-4x+3.

$\bullet$ Sur l'intervalle $\left [ -1 \ ; \ 1 \right ]$, quand $x$ augmente, $y$ ……………….

On dit que : sur l'intervalle $\left [ -1 \ ; \ 1 \right ]$, la fonction $f$ est …………………….

$\bullet$ Sur l'intervalle $\left [ 1 \ ; \ 3 \right ]$ , quand $x$ augmente, $y$ ……………….

On dit que : sur l'intervalle $\left [ 1 \ ; \ 3 \right ]$ , la fonction $f$ est …………………….

Au point d'abscisse $x=1$, les valeurs de $f$ sont à leur…………………………………..

On dit que : au point d'abscisse $x = 1$, la fonction admet un ……………….

(il pourra s'agir aussi d'un .............)

C21a.Fonction croissante. Sur l'intervalle $\left [a ; b \right ]$, quand les valeurs de $x$ ……………………, les valeurs de $f(x)$ ………………………….aussi. La fonction $f$ est ……………… sur l'intervalle $\left [a ; b \right ]$.   $x$ $a$ $b$   $f$

C21b.Fonction décroissante. Sur l'intervalle $\left [a ; b \right ]$, quand les valeurs de $x$ ……………………, les valeurs de $f(x)$ …………………………. La fonction $f$ est ……………… sur l'intervalle $\left [a ; b \right ]$. $x$ $a$ $b$   $f$

C21c.Fonction constante. Sur l'intervalle $\left [a ; b \right ]$, quand les valeurs de $x$ ……………………, les valeurs de $f(x)$ …………………………. La fonction $f$ est ……………… sur l'intervalle $\left [a ; b \right ]$. $x$ $a$ $b$   $f$

C22. Extremum.

Si la fonction $f$ est croissante puis décroissante, les valeurs $f(x)$ atteignent une valeur maximale, on dit que la fonction $f$ admet un .............................. $x$ $a$ $x_M$ $b$ $f$

Si la fonction $f$ est croissante puis décroissante, les valeurs $f(x)$ atteignent une valeur maximale, on dit que la fonction $f$ admet un .............................. $x$ $a$ $x_M$ $b$ $f$

C3. Parité.

C31. Fonction paire.

Une fonction est PAIRE si : $f(x) \ = \ f(-x)$pour toutes les valeurs de $x$

C32. Fonction impaire.

Une fonction est PAIRE si : $f(x) \ = \ - f(-x)$pour toutes les valeurs de $x$

C4. Périodicité

Définition

Une fonction $f$ fest dite périodique si il existe un nombre $T$ appelé PERIODE pour lequel : $f(x) = f(x+kT) $ (k  entier ) La courbe représentative de la fonction $f$ est constituée d’un schéma élémentaire qui se reproduit.   $\bullet$ Repasser le schéma élémentaire sur la courbe ci-contre. $\bullet$ Quelle est la période de la fonction proposée ?