Géométrie

ACTIVITES

A1. Pythagore et sa réciproque.

A11. Hauteur d'une maison.

Gérard doit déterminer la hauteur de sa maison.

Il utilise un télémètre et le place à une distance.

Maison pythzgore

OH = 4 m de la maison.

Il pointe le haut de la maison et mesure : $OA = 7,9 m$.

Il pointe le pied de la maison et mesure : $OB = 4,2 m$.

$\bullet$ Déterminer la valeur de la longueur $AH$.

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$\bullet$ Déterminer la valeur de la longueur $BH$.

$\bullet$ En déduire la hauteur $AB$ de la maison.

A12. Dans le coin ?

Gérard souhaite réaliser un meuble à placer dans le coin du salon.

Les cotes (en cm) sont données ci-contre.

Jean-Pierre lui dit : "ton meuble ne rentrera pas dans le coin de la pièce, revoie tes cotes !"

$\bullet$ Montrer que Jean-Pierre a raison.

$\bullet$ Gérard choisit alors de conserver les cotes 170 et 128. Quelle doit-être la valeur de la troisième cote ?

$\bullet$ Déterminer la surface de bois nécessaire pour la réalisation des trois étagères.

Papier/Crayon :

$\bullet$ Reproduire le triangle à l'échelle 1/20e. Tracer la hauteur issue du sommet à l'angle droit.

$\bullet$ Déterminer sa mesure.

$\bullet$ Calculer la surface de bois, d'une autre manière que celle utilisée précédemment.

En utilisant Geogebra :

$\bullet$ Reproduire le triangle. Tracer la hauteur issue du sommet à l'angle droit.

$\bullet$ Calculer la surface de bois, d'une autre manière que celle utilisée précédemment.

$\bullet$ Vérifier ainsi les résultats précédents.

A2. Le théorème de Thalès.

A11. Hauteur d'une maison.

Gérard souhaite maintenant vérifier la hauteur de sa maison calculée précédemment.

Thales

Il utilise l'ombre de la maison comme indiqué sur la figure ci-contre, il se place dans le jardin, de telle sorte que son ombre et celle de la maison coïncident exactement.

Sa taille est de 1,70 m.

$\bullet$ Que peut-on dire des positions relatives de la maison et de Gérard par rapport au sol ?

$\bullet$ En déduire la position relative de Gérard par rapport à la maison.

$\bullet$ Reproduire la situation à l'échelle 1/20e.

$\bullet$ Déterminer alors la hauteur de la maison.

A12. Réglage des phares.

A12a. Chez Gérard.

Gérard envisage de régler les phares de sa voiture pour obtenir une de 30 m.

Thales2

Les phares sont à une hauteur $OP = 60 \ cm$ du sol.

Il place la voiture de sorte que les phares soient à la distance $OB = 1,50 \ m$ du mur.

$\bullet$ Que peut-on dire des positions relatives des droites $(AB)$ et $(OP)$ ?

$\bullet$ Quelle doit être la valeur de la distance $AB$ pour que la portée soit correcte ?

A12b. Chez Robert.

Robert demande à Gérard de venir vérifier si le mur de son jardin est "droit".

Thales rcprk

A sa grande surprise, Gérard place sa voiture à $OB = 1,50 \ m$ du mur, allume les phares.

Cette fois, il mesure la hauteur $AB = 50 \ cm$.

Il place la voiture de sorte que les phares soient à la distance $OB = 1,50 \ m$ du mur.

Expliquer.

A3. Aires et périmètres.

A31. En utilisant le formulaire.

Gérard souhaite décorer l'intérieur de son salon en reproduisant le visage de son ami Robert sur un mur blanc.

La figure ci-contre est à l'échelle.

La distance sol/plafond est de 2,40 m.

Chaque figure est entourée d'une bande bleue d'une largeur de 5 cm.

Il n'utilisera que des colorants jaune, rouge, vert, turquoise et bleu ajoutés dans la peinture blanche.

Sur les boites de colorants, il est indiqué : $5 \ mL \ / \ m^2$.

$\bullet$ Déterminer l'échelle de la figure.

$\bullet$ Pour chaque couleur utilisée, déterminer:

- La surface de peinture utilisée.

- La quantité de colorant à ajouter.

A32. Vérifier les valeurs des surfaces et périmètre à l'aide de Geogebra.

A4. Aires et volumes.

A41. En utilisant le formulaire.

Gérard réalise lui-même sa table de salon.

Table salon

Le plateau est constitué d'une plaque en bois de chêne d'une épaisseur de $6 \ cm$.

Les pieds, en bois de hêtre ont un rayon de $5 \ cm$.

La masse volumique du chêne est $\rho \ = \ 0,85 \ g/cm^3$.

Il finalisera son travail en recouvrant l'ensemble de trois couches d'un vernis, vendu en pots de $0,75 \ L$ sur lesquels figure l'indication $\pm \ 9 \ m^2$.

$\bullet$ Déterminer le volume total de la table.

$\bullet$ En déduire la masse totale de la table.

$\bullet$ Déterminer la surface totale à recouvrir.

$\bullet$ En déduire le nombre de pots de vernis à acheter.

A42. En utilisant Geogebra.

Retrouver les valeurs des volumes et des aires calculées.

COURS

C1. Le théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.

$AB^2 \ + \ AC^2 \ = BC^2$

Réciproquement :

Dans un triangle $(ABC)$, si la somme des carrés des longueurs deux côtés est égale au carré de la longueur du troisième côté, alors, $(ABC)$ est un triangle rectangle dont le plus grand côté est l'hypoténuse.

C2. Le théorème de Thalès.

On considère deux droites sécantes en un point $O$.

Ces deux droites sont coupées par deux droites parallèles $(AB)$ et $(A'B')$.

Alors :

$\dfrac{OA}{OA'} \ = \ \dfrac{OB}{OB'} \ = \ \dfrac{AB}{A'B'}$