Lentille convergente

Exercicie n° 11 P 327 : Grandeurs algébriques.

Exercicie n° 13 P 327 : Où est passée l'image ?

1.

L'objet étant situé entre le foyer principal objet et le centre optique de la lentille, il se forme une image virtuelle, avant la lentille.

2.

Pour observer une image sur l'écran (image réelle), l'objet doit être placé au plus proche de la lentille au foyer objet $\left ( \overline {OA} \ = \ -12,5 \ cm \right )$

Exercicie n° 15 P 327 : Projection d'image.

1.

2.

$\overline {OA} \ = \ -12 \ cm$ et $\overline {OA'} \ = \ 420 \ cm$ donc : $\gamma \ = \dfrac{420}{-12} \ = \ -35$

3.

L'image a pour dimansions : $35 \times 24 \ = 840 \ mm$ et $35 \times 26 \ = \ 1260 mm$

4.

Le grandissement étant négatif, l'image est inversée par rapport à l'objet. Il faut placer la diapositive "à l'envers".

Exercicie n° 17 P 328 : Mise au point d'un appraeil photo.

1.

L'inscription $f' \ = \ 50 \ mm$ indique la valeur de la distance focale de la lentille de l'objectif.

2.

2.

La relation de conjugaison s'écrit : $\dfrac{1}{\overline {OA'}} \ - \ \dfrac{1}{\overline {OA}} \ = \ \dfrac{1}{f'} $

Alors : $\dfrac{1}{\overline {OA'}} \ = \ \dfrac{1}{f'} \ + \ \dfrac{1}{\overline {OA}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\overline {OA'}} \ = \dfrac{f' \ + \ \overline {OA}}{f' \times \overline {OA}}$

$\Leftrightarrow \overline {OA'} \ = \ \dfrac{f' \times \overline {OA}}{f' \ + \ \overline {OA}}$

$\Leftrightarrow \overline {OA'} \ = \ \dfrac{50 \times (-1500)}{50 \ -1500} \ = \ 51,7 \ mm$

Exercicie n° 18 P 328 : Accomodation de l'oeil.

1.

Le cristallin est représenté par la lentille apparaissant sur le schéma.

2.

Le foyer se trouve à l'intersection du rayon émergent issu du rayon incident parallèle à l'axe optique et de l'axe optique.

3.

Le cristallin est représenté par la lentille apparaissant sur le schéma'image se forme sur la rétine, l'image est nette.

4.

Lorsque l'objet se rapproche, la distance focale diminue.

La relation de conjugaison s'écrit : $\dfrac{1}{f'} \ = \ \dfrac{1}{\overline {OA'}} \ - \ \dfrac{1}{\overline {OA}} $

Dans le cas de l'oeil, l'image doit se former sur la rétine, imposant de ce fait que $\overline {OA'}$ est constante.

$\overline {OA}$ diminuant, $ \ - \ \overline {OA}$ augmente.

Donc : $\dfrac{1}{f'} $ augmente.

Alors : $f'$ diminue (fonction inverse).

5.

Dans le cas de l'appareil photo, la distance focale ne varie pas, elle est imposée par l'objectif. Cette fois, c'est la position relative de l'image et de la lentille qui doit varier pour que l'image se forme sur le capteur.

$\dfrac{1}{f'} \ = \ \dfrac{1}{\overline {OA'}} \ - \ \dfrac{1}{\overline {OA}} \ = \ constante $

$\overline {OA}$ diminuant, $ \ - \ \overline {OA}$ augmente.

Pour maintenir l'écart $\dfrac{1}{\overline {OA'}} \ - \ \dfrac{1}{\overline {OA}}$ constant, $\dfrac{1}{\overline {OA'}}$ doit diminuer.

$\overline {OA'}$ augmente.

Exercicie n° 30 P 330 : Taille d'une image projetée sur un écran.

1.

$\dfrac{1}{f'} \ = \ \dfrac{1}{\overline {OA'}} \ - \ \dfrac{1}{\overline {OA}} \ = \ constante $

$\Leftrightarrow \ \dfrac{1}{\overline {OA'}} \ = \ \dfrac{1}{f'} \ + \ \dfrac{1}{\overline {OA}}$

$\Leftrightarrow \ \overline {OA'} \ = \ \dfrac{f' \times \overline {OA}}{f' \ + \ \overline {OA}} \ = \ \dfrac{17,0 \times \left ( - 17,1 \right )} {17,0 \ -\ 17,1} \ = \ 2907 \ mm$ soit $2,91 \ m$.

2.

Le grandissement s'écrit : $\gamma \ = \ \dfrac{\overline {OA'}}{\overline {OA}} \ = \ \dfrac{\overline {A'B'}}{\overline {AB}}$

Alors : $\overline {A'B'} \ = \ \overline {AB} \times \dfrac{\overline {OA'}}{\overline {OA}} \ = \ -1,2 \times \dfrac{2907} {-17,1} \ = \ -204 \ mm$ soit $-20,4 \ cm$

3.

La valeur précédente est négative, signifiant que l'image est dans le sens opposé à celui de l'objet. Il faudra donc présenter l'objet à l'envers.

Exercicie n° 36 P 332 : Prises de vue.

1.

2.

Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{f'} \ = \ \dfrac{1}{\overline {OA'}} \ - \ \dfrac{1}{\overline {OA}}$

$\Leftrightarrow \ \overline {OA'} \ = \ \dfrac{f' \times \overline {OA}}{\overline {OA} \ + \ f'} \ = \ \dfrac{50 \times \left ( -1800 \right )}{-1800 \ + \ 50} \ = \ 51,4 \ mm$

3.

$\gamma \ = \dfrac{\overline {OA'}}{\overline {OA}} \ = \dfrac{f' \times \overline {OA}}{\overline {OA} \ + \ f'} \times \dfrac{1}{\overline {OA}} \ = \dfrac{f'}{\overline {OA} \ + \ f'} \ = \ \dfrac{50}{-1800 \ + \ 50} \ = \ -2,9.10^{ \ -2}$

4.

$\gamma \ = \dfrac{\overline {OA'}}{\overline {OA}} \ = \ \dfrac{\overline {A'B'}}{\overline {AB}}$ donc : $ \overline {A'B'} \ = \ \overline {AB} \times \gamma \ = \ -2,7 \ cm$

4.

Les objets étant situés "à l'infini", leur simages se forment dans le plan focal image de l'objectif, à une mesure algébrique $\overline {OA'} \ = \ f' \ = \ 50 \ mm$ de l'objectif.

Il faudra donc rapprocher l'objectif de $53 \ - \ 50 \ = \ 3 \ mm$ du capteur. Le déplacement doit avoir lieu des objets vers le capteur.

Exercicie n° 37 P 332 : Distance focale d'une lentille convergente.

1.

La relation de conjugaison s'écrit: $ \dfrac{1}{\overline {OA'}} \ = \ \dfrac{1}{\overline {OA}} \ + \ \dfrac{1}{f'}$

Dans notre cas : $ \dfrac{1}{\overline {OA'}} \ = \ 0,956 \times \dfrac{1}{\overline {OA}} \ + \ 7,87$

Le coefficient directeur de la droite étant très proche de $1$, on peut estimer que la relation de conjugaison est vérifiée.

2.

Le terme $7,87$ correspond à : $\dfrac{1}{f'}$ donc : $f' \ = \ \dfrac{1}{7,87} \ = \ 0,127 \ m$

3,4.

L'écart-type est : $\sigma \ = \ 0,374$ Pour un nombre de mesures$n \ = \ 6$, on obtient une incertitude : $u \ = \ \dfrac{\sigma}{\sqrt 6} \ = \ 0,2 \ cm$ $f'\ = \ 12,7 \pm 0,2 \ cm$

Exercicie n° 43 P 334 : Méthode de Bessel.

$\overline {OA}^2 \ + \ D \times \overline {OA} \ + \ D \times f' \ = \ 0$

1a.

Le discriminant de cette équation du second degré en $\overline {OA}$ s'écrit : $\Delta \ = \ D^2 - 4Df' \ = \ D \left ( D-4f' \right)$

L'équation aura des solutions si $\Delta \ = \ D^2 - 4Df' > 0$

1b.

Les solutions seraient alors : $\overline {O_1A} \ = \ \dfrac{-D - \sqrt{D \left ( D-4f' \right )}}{2}$ et $\overline {O_2A} \ = \ \dfrac{-D + \sqrt{D \left ( D-4f' \right )}}{2}$

1c.

Ces solutions correspondraiennt aux deux positions possibles de la lentille pour l'esquelles on pourrait observer une image nette sur l'écran.

2.

La relation de Chasles s'écrit : $d \ = \ \overline {O_1O_2} \ = \ \overline {O_1A} \ + \ \overline {AO_2}$

$\Leftrightarrow d \ = \ \overline {O_1A} \ - \ \overline {O_2A}$

$\Leftrightarrow d \ = \ \dfrac{-D - \sqrt{D \left ( D-4f' \right )}}{2} \ - \ \dfrac{-D + \sqrt{D \left ( D-4f' \right )}}{2}$

$\Leftrightarrow d \ = \ \dfrac{-D - \sqrt{D \left ( D-4f' \right )} \ + \ D - \sqrt{D \left ( D-4f' \right )}}{2}$

$\Leftrightarrow d \ = \ \dfrac{-2 \sqrt{D \left ( D-4f' \right )}}{2}$

$\Leftrightarrow d \ = \ - \sqrt{D \left ( D-4f' \right )}$

Alors : $d^2 \ = \ \left ( \sqrt{D \left (D-4f' \right)} \right ) ^{ \ 2}$

$\Leftrightarrow \ d^2 \ - \ D^2 \ = \ - 4D$

$\Leftrightarrow \ \boxed{ \ \ f' \ = \ \dfrac{D^2 \ - \ d^2}{4D} \ \ }$

3.

La règle étant graduée au $mm$, on estime l'erreur à : $u \ = \ 0,5 \ mm$

4.

$ f' \ = \ \dfrac{D^2 \ - \ d^2}{4D} \ = \ \dfrac{91,4 ^2 \ - \ 29,7^2}{4 \times 91,4} \ = \ 20,4 \ cm$

$\dfrac{u_{f'}}{f'} \ = \ \sqrt{ \left ( \dfrac{u_{D}}{D} \right )^2 \ + \ \left ( \dfrac{u_{d}}{d} \right )^2} \ = \ \sqrt{ \left ( \dfrac{0,5}{914} \right )^2 \ + \ \left ( \dfrac{0,5}{297} \right )^2} \ = \ 2.10^{ \ -3} \ mm$

Et donc : $u_{f'} \ = 204 \times 2.10^{ \ -3} \ = \ 0,4 \ mm$

5.

$\overline {OA'} \ = \ \overline {OA} \ + \ \overline {AA'} \ = \ \overline {OA} \ + \ D$

$\gamma \ = \ \dfrac{\overline {OA'}}{\overline {OA}} \ = \ \dfrac{\overline {OA} \ + \ D}{\overline {OA}} \ = \ 1 \ + \ \dfrac{ D}{\overline {OA}}$

Pour la première possibilité :

$\overline {O_1A} \ = \ \dfrac{-91,4 - \sqrt{91,4 \left ( 91,4-4 \times 20,4 \right )}}{2} \ = \ -30,8 \ cm$. Alors : $\gamma_1 \ = \ 1 \ + \ \dfrac{91,4}{-30,8} \ = \ -1,97$

Pour la deuxième possibilité :

$\overline {O_2A} \ = \ \dfrac{-91,4 + \sqrt{91,4 \left ( 91,4-4 \times 20,4 \right )}}{2} \ = \ -60,7 \ cm$. Alors : $\gamma_2 \ = \ 1 \ + \ \dfrac{91,4}{-60,7} \ = \ -0,51$

Exercice n°47 P 355 : Home Cinéma.

NB : Sur la figure ci-dessus, on a reporté les gandeurs algébriques des positions et des tailles des objets et images.

Il faut bien noté que l'image est inversée.

La relation de conjugaison s'écrit : $\dfrac{1}{+D} \ - \ \dfrac{1}{-d} \ = \ \dfrac{1}{f'}$ soit : $f' \ = \ \dfrac{dD}{d+D} \ = \ \dfrac{D}{1 \ + \ \dfrac{D}{d}}$

Le grandissement s'écrit : $\gamma \ = \ \dfrac{-h}{H} \ = \ \dfrac{D}{-d} \ \Leftrightarrow \ \dfrac{D}{d} \ = \ \dfrac{h}{H}$

Le format est 16/9. On a : $\dfrac{\ell}{h} \ = \ \dfrac{16}{9}$ on a donc : $h \ = \ \dfrac{9 \times \ell}{16}$

On en déduit : $ f \ = \ \dfrac{D}{1+ \dfrac{9 \times \ell}{16H}} \ = \ \dfrac{2,50}{1+\dfrac{9 \times 1,50}{16 \times 8,3.10^{ \ -3}}} \ = \ 24,4.10^{ \ -2} \ m$

C'est l'appareil 1 qui satisfait à cette condition.