Mouvement d'un système

ACTIVITES

A1. Chute libre.

On a laissé tomber une balle de tennis et une masse de 1 kg du haut de la salle de chimie au troisième étage. Elles sont arrivées en même temps…

Objectif : Quelles sont les caractéristiques du vecteur variation de vitesse dans le cas de la chute libre ?

Doc 1 : Protocole.

Filmer la chute libre de deux corps de masses différentes.

· Importer la vidéo dans le logiciel "Tracker".

· Placer le système d'axes :

Origine au départ de la balle.
Axes des abscisses dirigé vers le bas.
Créer un ruban de calibration (une fenêtre a pour hauteur 1,10 m)

· Créer une masse ponctuelle A de masse

m_A = 1 kg.

· Créer une masse ponctuelle B de masse

m_B = 100 g.

· Pointer les positions de chaque masse.

Doc 2 : Vitesse et accélération.

· Le vecteur vitesse en un point i d'un point en mouvement est : $\overrightarrow v_i = \dfrac { A_iA_{i+1}}{\Delta t} \overrightarrow u_i $ où $\overrightarrow u_i $ est un vecteur directeur de la tangente à la trajectoire en A_i

· Le vecteur accélération en un point i d'un point en mouvement est : $\overrightarrow a_i = \dfrac {\overrightarrow {v_i}-\overrightarrow {v_{i+1}}}{\Delta t} $

Doc 3 : Exploitation des mesures.

Pour chacune des masses :

Tracer la courbe représentative de la position en fonction du temps.
Tracer la courbe représentative de la vitesse en fonction du temps.

Tracer la courbe représentative de l'accélération en fonction du temps.

Doc 4 : Rappel

A proximité de la Terre, cette dernière, du fait de sa masse crée en un point A un champ de pesanteur $\overrightarrow {\mathcal {G}} $:

$ \overrightarrow {\mathcal {G}} = - G \dfrac {m_T}{R^2_T} \overrightarrow {u_{O \rightarrow A}} $

m_T : Masse de la Terre 5,98.10²⁴ kg

R_T : rayon de la Terre 6380 km

G = 6,67×10^-11 N.m³.kg^-2, constante de gravitation

$\overrightarrow {u_{O \rightarrow A}} $ : vecteur unitaire de direction (OA), de O (centre de la Terre) vers A.

Doc 5 : Description du tracé du vecteur vitesse

Doc 6 : Description du tracé du vecteur accélération

Dans les deux cas :

• Décrire la trajectoire des solides.

• Donner l'expression de la vitesse en fonction du temps des solides.

• Donner l'expression de l'accélération en fonction du temps des solides.

• Préciser les unités de ces deux grandeurs (vitesse et accélération).

• Comparer la valeur de l'accélération à une grandeur déjà connue (doc3).

• Quelle est la force subie par ces deux masses tout au long de leur chute ?

• En déduire une relation entre l'accélération et cette force.

A2. Variation du vecteur vitesse lors d'une chute libre.

Avec un trampoline, un gymnaste peut effectuer un saut vertical atteignant jusqu'à 8 m de haut. Il reste alors environ 2 s en l'air pour effectuer sa figure.

Quelles sont les caractéristiques du vecteur variation de vitesse dans le cas de la chute libre ?

Doc 1 :

En trampoline, les gymnastes évoluent sur une toile de 4 mètres sur 2 située à 1,15 m du sol.

Doc3 : Vitesses du centre de gravité.

Montée :

*t(s)*	*0,00*	*0,10*	*0,20*	*0,3*	*0,4*
*v(m/s)*	*12,5*	*11,6*	*10,6*	*9,61*	*8,63*

*t(s)*	*0,50*	*0,60*	*0,70*	*0,80*	*0,90*
*v(m/s)*	*7,65*	*6,67*	*5,69*	*4,71*	*3,73*

*t(s)*	*1,00*	*1,10*	*1,20*
*v(m/s)*	*2,75*	*1,77*	*0,79*

Descente :

*t(s)*	*0,00*	*0,10*	*0,20*	*0,3*	*0,4*
*y(m)*	*0,00*	*1,00*	*2,00*	*2,94*	*3,92*

*t(s)*	*0,50*	*0,60*	*0,70*	*0,80*	*0,90*
*v(m/s)*	*4,90*	*5,88*	*6,86*	*7,94*	*8,82*

*t(s)*	*1,00*	*1,10*	*1,20*
*v(m/s)*	*9,80*	*10,8*	*11,8*

Doc 2 : Chronophotographie du centre de gravité du gymnaste.

• Sans souci d'échelle, représenter sur un schéma la force qui s'exerce sur le gymnaste en vol dans les 2 phases du mouvement en indiquant le référentiel d'étude choisi. Les forces de frottement de l'air sont négligées.

• À l'aide du doc 3, décrire comment évolue la vitesse du gymnase dans les phases ascendantes et descendantes.

• Pour les 2 phases, représenter en rouge le vecteur vitesse $\overrightarrow {v_1} , \overrightarrow {v_2} ,\overrightarrow {v_8} \ et \ \overrightarrow {v_9} $ avec une échelle judicieusement choisie.

• Pour les 2 phases, calculer et tracer les vecteurs $\overrightarrow {\Delta v_1} \ et \ \overrightarrow {\Delta v_2} $ sachant que $\overrightarrow {\Delta v_i} = \overrightarrow {v_{i+1}} - \overrightarrow {v_{i}} $.

• Décrire la direction, le sens et la variation d'intensité du vecteur $\overrightarrow {\Delta v}$ dans les 2 phases du mouvement.

• Indiquer la force responsable de la variation du vecteur vitesse.

A3.Variation du vecteur vitesse et somme des forces.

Le patinage artistique en couple est un sport qui se pratique sur de la glace. Lors des compétitions, chaque couple exécute plusieurs figurent (portées, pirouettes spirales) afin de marquer un maximum de points.

Quel lien existe entre la force $\overrightarrow F$ exercée par le patineur sur sa partenaire et le vecteur variation de vitesse de celle-ci ? .

Doc1 : figure en couple.

Gérard occupe une position de pivot, la pointe du pâtin fichée dans la glace. Il tient Ginette d'une seule main et lui fait décrire des cercles autour de lui à vitesse constante

Doc 2 : Enregistrement d'un mouvement circulaire uniforme.

La patineuse est assimilée à un point matériel. Ses positions successives sont données à intervalles de temps réguliers $\tau = 40 ms$.

Matériel : règle et équerre.

Pour tracer le vecteur $\overrightarrow {\Delta v_4}$ au point M₄ :

Tracer les vecteurs $\overrightarrow {v_4} \ et \ \overrightarrow {v_5}$ aux points M₅ et M₄.
Reporter le vecteur $ - \overrightarrow {v_4} $ à l'extrémité du vecteur $ \overrightarrow {v_5} $.
Construire le vecteur $\overrightarrow {\Delta v_4} = \overrightarrow {v_5} - \overrightarrow {v_{4}} $
Le ramener au point M₄

• Préciser à l'aide du docoment la caractéristique du vecteur vitesse du système {patineuse} qui changent le cours du mouvement.

• Sur le document ci-dessous : représenter les vecteurs vitesse instantanée $\overrightarrow {v_1} , \overrightarrow {v_2} ,\overrightarrow {v_9} \ et \ \overrightarrow {v_{10}} $ respectivement aux points M₁, M₂, M₉ et M₁₀.

• Représenter le vecteur variation de vitesse $\overrightarrow {\Delta v_2} $ au point M₂. Tracer de même $\overrightarrow {\Delta v_{10}} $ au point M₁₀. Vérifier que chaque vecteur $\overrightarrow {\Delta v} $ a pour direction le rayon du centre et est orientée vers le centre du cercle quelle que soit la date t.

• Montrer que la somme des forces appliquées à la {patineuse} est égale à la force exercée sur elle par le patineur : $\sum {\overrightarrow {Forces}} = \overrightarrow F$.

Représenter $\sum {\overrightarrow {Forces}} = \overrightarrow F$ sur le schéma en M₂ et M₁₀.

• Comparer les directions et les sens des vecteurs $\overrightarrow {Forces} \ et \ \overrightarrow {\Delta v}$

• Indiquer les caractéristiques du vecteur dans le cas où les forces exercées ne se compensent pas : $\sum {\overrightarrow {Forces}} \neq \overrightarrow 0$

EXERCICES : 9 ; 10 ; 11 ; 13 ; 14 ; 18 ; 20 ; 27 ; 29 ; 34 ; 35 P 231 à 237

COURS

C1.Référentiel d'étude.

C11.Notion de référentiel.

Un référentiel est un objet par rapport auquel on étudie le mouvement d'un système.

Il est muni d'un repère et d'une échelle de temps.

• Le référentiel terrestre, lié à la Terre est adapté à l'étude du mouvement d'un objet proche de la Terre.

• Les référentiels astrocentriques sont liés au centre d'un astre et associés à des axes de directions fixes par rapport à des étoiles lointaines

Référentiel Géocentrique :

Référentiel

Terrestre :

C12. Repère.

• Le repère cartésien $ \left ( O ; \vec i ; \vec j ;\vec k \right ) $ a pour origine le point O et pour vecteurs unitaires constants $ \left ( \vec i ; \vec j ;\vec k \right ) $.

• Le repère de Frenet a pour origine le point G en mouvement.

Ses vecteurs unitaires sont :

•$\overrightarrow {u_t}$ : tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.

$\overrightarrow {u_n}$ : orthogonal à $\overrightarrow {u_t}$ et vers l'intérieur de la trajectoire.

C2. Le vecteur vitesse.

C20 Trajectoire.

Lors du déplacement d'un mobile, la trajectoire de ce mobile est la courbe reliant ses positions successives.

C21 Norme du vecteur vitesse.

Le système est considéré comme ponctuel (pour un système non ponctuel, il sera ramené à son centre de gravité).

La vitesse instantanée v_i de la vitesse dans la position M_i est assimilée à la valeur de la vitesse moyenne du système entre deux positions très proches M_i et M_i+1 :

$v_i = \dfrac {M_iM_{i+1}}{t_{i+1}-t_i}$

M_iM_i+1 : longueur du segment [M_i M_i+1], en m.

t_i+1 - t_i : durée du parcours entre ces deux points.

C22. Caractéristiques du vecteur vitesse.

Le vecteur vitesse $\overrightarrow v$ en un point de la trajectoire est assimilé au vecteur vitesse moyenne obtenu pour une durée extrêmement courte :

$\overrightarrow v_i = \dfrac {\overrightarrow {M_iM_{i+1}}}{t_{i+1}-t_i}$

Le vecteur vitesse $\overrightarrow v $ est défini par :

Sa direction : tangente à la trajectoire.
Son sens : celui du mouvement.

Sa valeur : celle de la vitesse en m.s^-1.

C3. Le vecteur variation de vitesse.

Lors d'un mouvement, le vecteur vitesse $\overrightarrow v$ peut varier, en direction, en sens et en norme.

Le vecteur variation de vitesse $\overrightarrow {\Delta v} $ entre deux positions successives est défini par :

$\overrightarrow {\Delta v} = \overrightarrow {v_{i+1}}-\overrightarrow {v_{i}}$

C4. Somme des forces appliquées au système.

Dans un référentiel galiléen, pour un système de masse constante soumis à une ou plusieurs forces, son vecteur variation de vitesse $\overrightarrow {\Delta v} $ pendant une durée extrêmement courte a pour expression :

$ \sum {\overrightarrow {F_{ext}}} = m \frac {\overrightarrow {\Delta v}}{dt} $

$ \sum {\overrightarrow {F_{ext}}}$ : somme des forces extérieures appliquées (exprimée en Newton) pendant la durée Dt (exprimée en seconde).

Mouvement de chute libre :

La somme des forces est égale au poids de l'objet.

Le vecteur variation de vitesse et le vecteur poids sont verticaux, orientés vers le bas.

Mouvement circulaire uniforme :

La somme des forces et le vecteur vitesse sont centripètes (dirigés vers le centre de la trajectoire).

C5. Influence de la masse.

Plus la masse du système est grande, plus il est difficile de modifier son mouvement.

Dans les trois situations ci-dessus, pour une même variation de vitesse, la somme des forces à produire par le moteur de la voiture augmente avec la masse totale du système.

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