Description d'un mouvement

ACTIVITES

A0 : Tracés des vecteurs vitesse et accélération :

A01 : Tracé du vecteur vitesse:

Vecteur vitesse

A02 : Tracé du vecteur accélération :

Vecteur acc

A1 : Etude du mouvement d'une voiture.

Afin de mesurer les émissions polluantes des véhicules, on les soumet à différents cycles, accélérations, décélérations et paliers de vitesse de valeurs constantes.

Un des tests appelé "urbain" consiste à faire passer une voiture de 0 à 50 km/h en 26 s.

Comment définir les vecteurs vitesse et accélération ?

Doc1 : Modélisation d'un test d'accélération d'une voiture.

On modélise un test d'accélération d'une voiture sur une piste avec une maquette de voiture pouvant se déplacer sans frottement sur un rail horizontal.

Initialement, la maquette est immobile. Elle est accélérée par une force $\vec F $ (générée par le poids de la masse suspendue) horizontale et constante.

On s'intéresse au mouvement d'un point M de la maquette.

Doc 2 : Evolution de l'abscisse d'un point M dans cette situation en fonction du temps.

Doc 3 : Evolution des valeurs de la vitesse et de l'accélération en fonction du temps.

Doc4 : Pour un point M en mouvement rectiligne sur un axe (Ox):

• La position de M à la date t est donnée par le vecteur $\overrightarrow {OM(t)}$

• $\overrightarrow {OM(t)}$ a pour abscisse x.

• x s'exprime en mètre (m).

• Le vecteur vitesse $ \overrightarrow {v(t)} $ du point M à la date t est :$ \overrightarrow {v(t)}=\dfrac {d \overrightarrow {OM(t)}}{dt} $

• $ \overrightarrow {v(t)} $ a pour abscisse $ v_{x}(t) = \dfrac {dx(t)}{dt} $ et s'exprime en mètre par seconde (m.s^-1).

• Le vecteur accélération $ \overrightarrow {a(t)} $ du point M à la date t est :$ \overrightarrow {a(t)}=\dfrac {d \overrightarrow {v(t)}}{dt} $

• a pour abscisse $ a_{x}(t) = \dfrac {dv_{x}(t)}{dt} $ et s'exprime en mètre par seconde carré (m.s^-2).

• Proposer et mettre en œuvre un protocole permettant de tracer l’évolution de l’abscisse x d’un point M d’une maquette de voiture accélérée de façon constante en fonction du temps ?

(fichier vidéo : 1-250g_0-70N.mp4 ou Chariotplan.gif fournis)

•Utiliser les outils de modélisation d’un logiciel tableur grapheur (Regressi ou Excel, Regressi étant recommandé car au cours de l’année on ne pourra pas toujours utiliser Excel) pour déterminer l’équation

x = f(t). L’allure de la courbe est-elle similaire à la courbe du doc2 ?

• En déduire les équations v_x(t) = g(t) et a_x(t) = h(t).

• Quelle est la valeur de l’accélération, supposée constante, d’une voiture lors d’un test correspondant au cycle urbain ?

• Comment définir la vitesse et l’accélération ? Avec la trajectoire obtenue sur les pointages que l’on aura préalablement imprimés, tracer les vecteurs vitesse et accélération (méthode graphique) de la voiture. (à faire chez soi)

A2 : Se comparer aux plus grands.

Doc 1 : Chronophotographie.

Faire une pointe de vitesse en courant et se comparer aux plus grands coureurs du 100 m, c’est possible ! Mais comment s’y prendre en réalisant une chronophotographie ?
Une chronophotographie est une image sur laquelle se superposent plusieurs photographies prises à intervalle de temps régulier et qui permet de suivre les différentes positions d’un système en mouvement dans le référentiel lié à l’appareil photographique. Il est possible de réaliser simplement ce type d’image sur smartphone pour l’exploiter. Le protocole suivant se propose de déterminer la vitesse d’un coureur en mouvement.

Doc 2 : Protocole.

• À deux, se rendre sur une piste dégagée pour réaliser la chronophotographie.

• Identifier un objet ou une distance de référence, qui sera visible sur la chronophotographie, et la mesurer.

• Se positionner à une dizaine de mètres, perpendiculairement à la piste de course.

• Lancer l’application Motion Shot et garder la position fixe.

• Au top départ, le coureur se lance dans le champ d’acquisition de l’appareil.

• Attendre que le coureur parcoure l’intégralité du champ et arrêter l’enregistrement.

• Ajuster la chronophotographie en choisissant l’image de départ et l’image de fin. Noter les dates tf? et ti? correspondant respectivement aux dates de fin et de début de la chronophotographie.

• Enregistrer l’image choisie et l’exporter sur un ordinateur pour son exploitation.

On approxime les vitesses v_i à chaque point aux vitesses moyennes entre les instants t_i? et t_i+1?, il faut alors calculer les grandeurs v_xi et v_yien utilisant les relations :

$ v_{xi}\left ( t_{i} \right ) = \dfrac { x(t_{i+1}) - x(t_{i})}{\Delta t} $

$ v_{yi}\left ( t_{i} \right ) = \dfrac { y(t_{i+1}) - y(t_{i})}{\Delta t} $

$ v_{i}(t_{i}) = \sqrt {v^{2}_{xi} (t_{i}) +v^{2}_{yi} (t_{i})} $

• Déterminer l’écart de temps Δt correspondant à $ \Delta t = \dfrac {t_{f} - t_{0}}{N}$, puis calculer automatiquement les trois grandeurs précédemment évoquées.

• Visualiser l’évolution de la vitesse du coureur v(t) en fonction du temps t et évaluer son accélération moyenne a correspondant au rapport entre la variation de vitesse et la durée de la variation.

• Comparer la vitesse maximale v_max? obtenue avec les vitesses des grands champions du 100 m sur Internet.

A3 : Mouvement de la Terre sur son orbite.

Doc1 : Données.

• La norme d'un vecteur $ \vec v =
\begin{pmatrix}
v_x \\
v_y
\end{pmatrix} $

est :

$ v= \sqrt {v^{2}_{x} + v^{2}_{y}} $

• Si σ est l'écart-type pour n mesures, l'incertitude type est : $ U = \dfrac {\sigma_{n}}{\sqrt {n}} $

• Masse de la Terre : m_T = 5,97.10²⁴ kg.

• Masse du Soleil : m_S = 1,9910³⁰ kg.

Doc2 : Mouvements planétaires.

Travail à effectuer et à remettre sous la forme d'un compte-rendu clair.

• A l'aide d'un logiciel de pointage vidéo, et de la simulation "espace.avi" (ou en chargeant le fichier gif ci-dessus) :

- Repérer les positions de la Terre au cours de son mouvement.

- Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse.

- Déterminer les coordonnées du vecteur accélération.

- Tracer le vecteur vitesse. Commenter.

- Tracer le vecteur accélération. Commenter.

- Déterminer la vitesse moyenne et l'incertitude associée.

-Déterminer l'accélération et l'incertitude associée.

- Qualifier le mouvement de la Terre autour du Soleil.

• Sachant que la valeur moyenne de l'accélération est de la forme $ a= k \times \dfrac {v^{2}}{R} $, déterminer la valeur de k.

• Donner l'expression de la force exercée par le Soleil sur la Terre, et donner sa valeur F. Effectuer le rapport de la force à l'accélération. Quelle est la valeur ainsi obtenue ?

A4 : London Eye.

Le London Eye, grande roue de Londres, a un diamètre R = 130 m. La vitesse maximale atteinte par les cabines est de 0,9 km/h. On étudie l'enregistrement des positions d'un cabine (représentée par son centre d'inertie M) à partir de sa position de départ (en bas). Les positions sont relevées à intervalle de temps régulier Δt = 40 s.

L'objectif est ici de tracer les vecteur vitesse et accélération au démarrage de la cabine.

Echelles :

Pour les vitesses, 1 cm papier correspond à 0,1m/s.

Pour les accélérations, 1 cm papier représente 2,5.10^-4 m/s².

Le repère de Frenet !

• Le repère de Frenet a pour origine le point G en mouvement.

Ses vecteurs unitaires sont :

$\overrightarrow {u_{t}}$: tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.

$\overrightarrow {u_{n}}$: orthogonal à $\overrightarrow {u_{t}}$ et vers l'intérieur de la trajectoire.

• Dans ce repère, l'accélération a pour expression :

$\vec a = \dfrac {dv}{dt} \overrightarrow {u_{t}} + \dfrac {v^{2}}{R} \overrightarrow {u_{n}}$

1. Numéroter les points de M₁ à M₁₄ et tracer la trajectoire du point M.

2. Tracer les vecteurs vitesse $\overrightarrow {v_{10}}$ ,$\overrightarrow {v_{11}}$ et $\overrightarrow {v_{12}}$ aux points M₁₀, M₁₁ et M₁₂. On détaillera les calculs.

3. Le vecteur vitesse est-il constant au cours du mouvement ? Commenter alors le mouvement de la cabine.

4. Tracer le vecteur vitesse ${\overrightarrow {\Delta v_{10}}}$ au point M₁₀.

5. Déterminer la norme du vecteur ${\overrightarrow {a_{10}}}$ au point M₁₀. On détaillera les calculs.

6. Au point M₁₀, tracer le repère de Frenet. Projeter le vecteur $\overrightarrow {a_{10}}$ sur ce repère et en déduire les valeurs des composantes normale et tangentielle de l'accélération. En déduire la nature du mouvement.

7. Reprendre le travail avec un logiciel de pointage et retrouver les conclusions précédentes.

Exercices : 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 23, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 35, 40, 43, 46 P 254 à 265.

COURS

C1 : Les vecteurs du mouvement.

C11 : Le vecteur position.

Pour étudier le mouvement d'un mobile M, on détermine à chaque instant t les coordonnées x(t), y(t) et z(t) de ce mobile.

$ \overrightarrow {OM(t)} =
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)\\
z(t)
\end{pmatrix}
= x(t) \vec i + y(t) \vec j + z(t) \vec k $

C12 : Le vecteur vitesse.

Le vecteur vitesse décrit l'évolution de la position au cours du temps. Il se calcule à un instant donné t_ià partir du vecteur $\Delta \overrightarrow {OM} (t_i) = \overrightarrow {OM} (t_{i+1}) -\overrightarrow {OM} (t_{i+1})$ représentant la variation du vecteur position entre les instants au moment donné et suivant :

$\bf {\vec v (t_i) = \frac {\overrightarrow {OM}(t_{i+1} - \overrightarrow {OM}(t_{i})}{\Delta t } = \frac {\Delta \overrightarrow {OM}(t_{i})}{\Delta t}} $

Lorsqu'on fait tendre Δt vers 0, ce vecteur tend vers le vecteur dérivé du vecteur position.

$\bf{\vec v (t) = \frac {d \overrightarrow {OM}(t)}{dt}}$

Caractéristiques :

Direction : tangente à la trajectoire.
Sens : celui du mouvement.

Norme : elle correspond à celle de la vitesse, exprimée en m.s^-1.

C13 : Le vecteur accélération.

Le vecteur accélération décrit l'évolution de la vitesse au cours du temps. Il se calcule à un instant donné t_i à partir du vecteur $\Delta \overrightarrow {v} (t_i) = \overrightarrow {v} (t_{i+1}) -\overrightarrow {v} (t_{i})$ représentant la variation du vecteur position entre les instants précédent et suivant :

$\bf {\vec a (t_i) = \frac {\overrightarrow {v}(t_{i+1} - \overrightarrow {v}(t_{i})}{\Delta t } = \frac {\Delta \overrightarrow {v}(t_{i})}{\Delta t}} $

Lorsqu'on fait tendre Δt vers 0, ce vecteur tend vers le vecteur accélération du vecteur vitesse.

$\bf{\vec a (t) = \frac {d \overrightarrow {v}(t)}{dt}}$.

Il est exprimé en m.s^-2.

C2 : La base de Frenet.

C21 : Définition.

La base de Frenet est définie à partir de deux vecteurs unitaires orthogonaux $\overrightarrow {u_{t}}$ et $\overrightarrow {u_{n}}$

En chaque point de la trajectoire : $\overrightarrow {u_{t}}$ est tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement, $\overrightarrow {u_{t}}$ est orthogonal à $\overrightarrow {u_{n}}$ et centripète.

Cette base est locale car elle dépend du point de la trajectoire auquel on s'intéresse.

C22 : Pour les mouvements circulaires.

Les vecteurs vitesse et accélération se composent ainsi :

• Le vecteur vitesse $\vec v(t) $ étant tangent à la trajectoire, il n'a pas de composante selon $\overrightarrow {u_{n}}$ :
$\vec v = v \times \overrightarrow {u_{t}}$

• Le vecteur accélération s'écrit :

$ \vec a = a_{t} \overrightarrow {u_t} + a_n\overrightarrow {u_n} =
\begin{pmatrix}
a_t = \dfrac {dv}{dt} \\
a_n = \dfrac {v^2}{R}
\end{pmatrix} $

v : vitesse instantanée en m.s^-1.

a_n : accélération normale en m.s^-2.

a_t : accélération tangentielle en m.s^-2.

R : rayon de la trajectoire, en m.