Temps et relativité restreinte

ACTIVITES

A1 La célérité de la lumière.

En cherchant à mesurer l'influence du mouvement de la Terre sur la célérité de la lumière dans le vide, les physiciens du XIX^ème siècle on fait une découverte inattendue.

· Considérons deux voitures dont les compteurs de vitesse affichent 50 km/h pour l'une  et 60 km/h pour l'autre : si elles se croisent, leurs passagers voient arriver l'autre voiture à 110 km/h alors que si elles se doublent, c'est à 10 km/h qu'ils les voient se rapprocher. On peut appliquer les mêmes règles de composition (addition ou soustraction) de vitesse si on remplace un véhicule par un signal sonore. · Il en est tout autrement si l'on remplace l'un des mobiles par un signal lumineux. Ainsi, on n'a jamais pu constater que la valeur de la célérité de la lumière dans le vide par rapport à la Terre était influencée par le mouvement de celle-ci dans l'espace. L'expérience la plus connue a été réalisée à partir de 1881 par les physiciens Michelson et Morley.
· Le dispositif est schématisé sur la figure ci-dessous.	La lumière émise par la source rencontre en O une lame semi-transparente : une partie de la lumière est réfléchie vers le miroir M1, l'autre partie traverse la lame en direction du miroir M2. Après réflexion en incidence nulle sur les deux miroirs, le même phénomène se reproduit à nouveau sur la lame. Le détecteur permet l'observation du phénomène d'interférence entre les rayons ayant suivi les deux trajets représentés en vert et en bleu. On envisage ici le cas où le support de ce dispositif, fixe sur la Terre, est placé de telle sorte que l'axe (SOM2) soit parallèle à la direction de la vitesse    du support par rapport au référentiel héliocentrique (galiléen). La lumière émise par la source S se propage dans le même sens que  de O à M2, mais en sens contraire de M2 à O.
· Notons c la vitesse de propagation de la lumière dans le référentiel héliocentrique. La règle de composition des vitesses devrait permettre d'affirmer que par rapport au support, la lumière effectue le trajet entre O et M2 à la vitesse c – v à l'aller et à la vitesse c + v au retour; la direction (OM1) est normale à , le trajet aller-retour est donc moins affecté par le mouvement. Avec cette hypothèse, la différence t entre les durées des trajets OM2O et OM1O devrait dépendre de v. Dans les conditions décrites, le calcul donne une différence   , D étant la distance OM1 = OM2. Les deux faisceaux interfèrent et bien que la vitesse v (d'environ 30 km/s) soit très petite devant c, la figure d'interférence obtenue devrait être affectée d'une façon mesurable par cette différence t et dépendre de l'orientation de l'appareil par rapport à  , ce qui n'a jamais été observé.

A11 Analyse.

A11a. Quel était l'objectif de l'expérience de Michelson et Morley ?

A11b. Vérifier que τ  a la dimension d'un temps et calculer sa valeur.

A11c. Comparer cette valeur à la période d'une radiation dans le vide de longueur d'onde λ  = 500 nm. Justifier l'utilité d'un dispositif d'interférence pour mesurer le décalage attendu.

On prendra : D = 10 m ; v = 3,0.10⁴ m.s^-1, c= 3,0.10⁸ m.s^-1.

A12 Conclusion.

A12a. Quelle propriété de la célérité de la lumière découle de cette expérience ?

A12b. En généralisant le résultat à tout référentiel galiléen, que peut-on dire de la célérité dans le vide de la lumière provenant d'une étoile, pour un occupant d'un vaisseau spatial ultra rapide se déplaçant avec un mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel héliocentrique ?

A2 Prends ton temps, j'ai le "mien".

Paul vient chercher Dany à la gare tous les mercredis. Paul ne supporte pas le retard. Ils ont rendez-vous à 12h00 pile. Tous les mercredis, c'est le même refrain "Tu es encore en retard ! Si ça continue, je ne viendrai plus te chercher. Débrouille-toi."

Pour être sûr d'être à l'heure, Dany a placé dans son wagon, une horloge bien particulière.

Elle est constituée d'une enceinte à vide et contient une source d'éclairs lumineux placée au sol et un miroir placé à la verticale de cette source, à une distance h. Elle permet de mesurer la durée Δ?t_w, durée de propagation d'un éclair de son émission à sa réception.

Le wagon passe devant le quai avec une vitesse v constante.

Paul, très pointilleux a aussi emmené son horloge pour mesurer lui aussi la durée Δ?t_G du trajet aller-retour du même éclair.

A21 Analyse.

A21a. Expliquer la différence de trajectoire de l'éclair sur les doc1 et 2.

A21b. On admet que la vitesse de propagation de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens.

Montrer que la durée Δt_G de l'aller-retour d'un éclair, mesurée par l'horloge de la gare est supérieure à la durée Δt_W du même aller-retour, enregistrée par l'horloge du wagon.

A22 Exploitation des documents.

A22a. On raisonne en se plaçant dans le référentiel du wagon. Exprimer h en fonction de Δt_W et de c.

A22b. On raisonne en se plaçant dans le référentiel de la gare.

• Exprimer la distance AA'  en fonction de Δt_G et de v, puis les distances AM et AM' en fonction deΔt_G et de c.
• Exprimer les distances AM et AM' en fonction de h et de AA'.

A22c. En déduire que :   .

A23 Conclusion.

A23a. Comparer les grandeurs Δt_G et Δt_W.

A23b. Paul a-t-il raison de se fâcher ? N'est-il pas quelque peu pointilleux ?

A23c. Comparer selon la théorie de la relativité du temps, on dit qu'il y a "dilatation des durées" pour un objet en mouvement du point de vue d'un observateur immobile.

Expliquer comment cette expression s'applique à l'exemple précédent et en déduire que le temps a un caractère relatif.

A23d. Quelle hypothèse a été faite sur le mouvement du train ? Si Paul vient chercher Dany, que fera le train ? Conclure.

A3 La relativité oui... mais pour quoi faire ?

Dans la mécanique d'Einstein, la durée concernant un objet (par exemple : la durée du déplacement de l'objet) est appelée "durée propre" si elle est mesurée dans un référentiel lié à l'objet, de "durée mesurée" si elle est mesurée dans un autre référentiel. Ci-dessous, des exemples d'objets en mouvement dans le référentiel terrestre. Δ?t_p est la durée propre, lorsque la mesure Δ?t_m dans le référentiel terrestre vaut exactement 1s.

A31 Analyse.

Justifier les notations Δt_p et  Δt_m utilisées dans le texte.

A32 Interprétation.

A42a. Calculer l'erreur relative   exprimée en pourcentage dans chaque cas.

A42b. Comparer cette erreur relative avec la précision d'une horloge à quartz dérivant au maximum d'une seconde par an. A cette précision, pour quels objets étudiés doit-on tenir compte de la relativité du temps ?

Répondre aux mêmes questions pour une horloge atomique dérivant d'une seconde pour un million d'années.

A42c. Dans les systèmes GPS, on mesure des durées τ de parcours de signaux électromagnétiques pour calculer des distances d = c.τ .

Supposons que parmi tous les paramètres intervenant dans le fonctionnement de ce système, seule la dilatation du temps n'ait pas été prise en compte.

• Quel serait, au bout d'une heure de fonctionnement, l'écart entre l'indication d'une horloge atomique embarquée dans le satellite du GPS mentionné dans le tableau ?
• Quelle erreur sur la distance satellite-véhicule mesurée par le système GPS correspond à cet écart ? Est-elle acceptable par ces utilisateurs ? Par Paul (activité 2) ?

A33 Conclusion.

Trouver deux critères à prendre en compte pour décider si la théorie de la relativité et donc de la dilatation des durées pour mesurer des durées.

COURS

C1 Les postulats de la relativité restreinte.

C11 Insuffisances de la mécanique classique.

· Selon les lois classiques du mouvement (cinématique galiléenne), si deux mobiles A et B se déplacent avec des vitesses  et par rapport à un référentiel galiléen, pour un passager de A, le véhicule mobile B se déplace à la vitesse . Il en est de même si le mobile B est remplacé par une onde (signal sonore, vague).

· Mais cette loi de composition des vitesses ne s'applique pas aux ondes lumineuses, comme le montre l'expérience historique de Michelson et Morley : la vitesse de propagation de la lumière dans le vide par rapport à la Terre donne toujours la même valeur c et est indépendante de la vitesse de la Terre par rapport au Soleil.

· Compte tenu de ces observations expérimentales concernant la vitesse de propagation de la lumière, Albert Einstein publie en 1905, une nouvelle théorie connue sous le nom de RELATIVITE RESTREINTE.

C12 Les postulats.

· Aucune expérience de mécanique entièrement réalisée dans un référentiel galiléen ne permet de savoir si ce référentiel est en mouvement par rapport à un autre référentiel galiléen : c'est le PRINCIPE de relativité de Galilée. Ce principe n'est applicable qu'aux lois de la mécanique.

· En particulier, selon ce même principe, les lois de l'électromagnétisme ne sont pas invariantes lors d'un changement de référentiel galiléen.

· La théorie de la relativité restreinte d'Einstein va étendre le principe de relativité de Galilée à toutes les lois physiques. Cette théorie repose sur deux postulats.

Postulat 1 : Les lois de la Physique s'expriment de la même façon dans tous les référentiels galiléens. Postulat 2 : La vitesse de propagation de la lumière dans le vide est indépendante du mouvement de la source lumineuse et elle est invariante dans tout changement de référentiel galiléen.   Postulat 3 : Il existe une vitesse limite, égale à la célérité c de la lumière dans le vide, qui ne peut être dépassée par aucun signal transportant une information, ni aucune particule. Elle ne peut être atteinte que par les particules de masse nulle, comme le photon.

C2 Dilatation des durées.

C21 Caractère relatif des durées.

Les postulats de la relativité restreinte d'Einstein imposent d'abandonner la conception newtonienne selon laquelle le temps est une réalité absolue : la mesure du temps dépend du référentiel de mesure.

Dans une horloge à lumière, une impulsion effectue un va-et-vient entre deux miroirs parallèles, distants d'une longueur L.

L'ensemble est placé à l'intérieur d'un tube, embarqué dans un mobile se déplaçant horizontalement.

La mesure de la durée se fait entre deux évènements : l'envoi de l'impulsion et sa réception.

Ces deux évènements ont lieu:

• Au même endroit dans le référentiel R du mobile : le référentiel propre ( I )
• A deux endroits différents dans le référentiel terrestre R' ( II ).

Du fait de l'invariance de la célérité de la lumière, l'intervalle de temps entre deux évènements mesurés dans des référentiels différents ne peut pas être identique : la durée mesurée dépend donc du référentiel d'étude.

C22 Durée propre et durée mesurée.

· Le référentiel propre d'un objet est le référentiel dans lequel cet objet est immobile (référentiel lié à l'objet).

· La durée propre concernant un objet est une durée mesurée par une horloge immobile dans le référentiel propre de cet objet.

Considérons un référentiel R et un référentiel propre R_P d'un objet, en mouvement l'un par rapport à l'autre.

NB : comme γ >1, la durée Δt_m dans R est toujours supérieure à la durée Δt_p. On parle de dilatation des durées.

C3 Confirmation expérimentale.

C31 Vitesses proches de c.

· Les physiciens des particules étudient souvent des particules dont les vitesses sont proches de celles de c. La mécanique classique ne permet pas d'expliquer les observations réalisées.

· Des particules instables animées de vitesses proches de c, présentes dans les rayons cosmiques ou les accélérateurs de particules, peuvent être observées pendant une durée très supérieure à leur durée de vie. C'est une preuve expérimentale de la dilatation des durées.

· L'existence d'une limite pour les vitesses a une conséquence pratique importante : plus la vitesse d'une particule est proche de c, plus l'énergie nécessaire pour obtenir une petite augmentation de vitesse est grande (infinie pour atteindre c).

Exemple : La courte vie d'un muon produit par collision entre les rayons cosmiques et les molécules atmosphériques ne devrait pas lui permettre d'atteindre le sol… pourtant, les détecteurs présents au sol indiquent leur présence.

C32 Vitesses très petites devant c

· Pour que la durée mesurée diffère de 10% de la durée propre, il faut une vitesse supérieure à c/10. C'est bien au-delà des possibilités des engins les plus rapides conçus à l'heure actuelle.

· Mais même à faible vitesse devant c (de l'ordre de 10 m/s), les effets relativistes peuvent être mesurés par les horloges atomiques actuelles.

· Dès 1971, on vérifiait que des horloges atomiques embarquées dans des avions se décalaient par rapport à des horloges restées au sol.

· La mesure du temps dans un système de localisation (GPS) est d'une précision telle que la relativité du temps doit être prise en compte.

La bonne marche d'un tel système valide la théorie d'Einstein.